ATLASMouvement brownien géométrique (GBM)
Glossaire de l’investissement · Modèles et probabilités
Le modèle classique des cours dans lequel les rendements sont aléatoires, avec une dérive constante et une volatilité constante, de sorte que les cours ne peuvent jamais devenir négatifs.
Définition
Le mouvement brownien géométrique (GBM, pour geometric Brownian motion) est le modèle de référence de l’évolution d’un cours : à chaque instant survient un petit choc aléatoire dont la taille est proportionnelle au cours actuel, plus une dérive constante. C’est le modèle sur lequel repose la formule de Black-Scholes pour les options et le point de départ de nombreuses simulations de Monte-Carlo.
Sous le GBM, le logarithme du cours suit une loi normale ; les cours sont donc log-normaux : ils ne peuvent pas passer sous zéro et leur distribution est asymétrique vers le haut. Il en résulte que le résultat médian est inférieur à la moyenne, et l’écart grandit avec la volatilité. Les cours réels ont des queues plus épaisses et une volatilité changeante : le GBM est donc une simplification utile, pas une vérité littérale.
Formule
dS = μ·S·dt + σ·S·dW → S_t = S₀ · exp( (μ − σ²/2)·t + σ·W_t )
S = cours, μ = dérive (rendement annuel attendu), σ = volatilité, W = processus de Wiener (marche aléatoire), t = temps en années. Le terme σ²/2 corrige l’effet de la capitalisation de la volatilité.
Exemple chiffré
Prenons Tesla (TSLA) à 407,23 $ US, avec une dérive de 7 % par an et une volatilité annuelle de 41 %. Au bout d’un an, le résultat moyen sous GBM est de 436,76 $ US, mais la médiane n’est que de 401,09 $ US, car une forte volatilité tire vers le bas la trajectoire typique.
Plus l’action est volatile, plus la médiane tombe sous la moyenne : quelques grands gagnants tirent la moyenne vers le haut tandis que la plupart des trajectoires finissent plus bas.
Comment ATLAS l’utilise
ATLAS reprend la logique du GBM, une dérive et une volatilité, comme base de ses simulations, puis la corrige avec des distributions à queues épaisses ajustées sur les prévisions passées.
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Questions fréquentes
Pourquoi la médiane est-elle sous la moyenne dans le GBM ?
Parce que les rendements se composent. Une perte de 50 % exige un gain de 100 % pour être récupérée : la volatilité réduit donc la croissance typique d’une trajectoire sous la croissance moyenne.
Le GBM est-il réaliste ?
Seulement en gros. Les rendements réels ont des queues épaisses et une volatilité qui varie avec le temps, ce que le GBM ignore ; les modèles qui s’en inspirent sont donc généralement ajustés.
Termes liés
Appliquez l’idée à vos propres actions
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